Algebraische Geometrie I by Heinz Spindler

By Heinz Spindler

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Algebraic Functions And Projective Curves

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Snowbird Lectures on String Geometry

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Ist K ein Korper, so ist M genau dann K-Vektorraum, wenn M ein K-Modul ist. Abelsche Gruppen sind Z-Moduln. 19 Es sei M ein R-Modul. a) N M hei t R-Untermodul () N= 6 ;; x; y 2 N ) x y 2 N; x 2 N; a 2 R ) ax 2 N: b) Ist N M R-Untermodul, so ist M N = fx+N j x 2 M g R-Modul mit den Operationen (x + N) + (y + N) = (x + y) + N; a(x + N) = ax + N: M N hei t der Quotientenmodul von M nach N. 20 ' : M ! M 0 hei t Homomorphismus () '(ax + by) = a'(x) + b'(y) 8 a; b 2 R; x; y 2 M: Es gilt: ker ' und im' sind Untermoduln von M bzw.

Sind f1 ; : : :; fm 2 K z1 ; : : :; zn] Erzeuger des Ideals I(X) und ist fm+1 2 K z1 ; : : :; zn] Reprasentant von f 2 A(X), so ist O(Xf ) = K z1 ; : : :; zn+1] hf1 ; : : :; fm ; 1 zn+1 fm+1 i: Xf kann also als abgeschlossene Untervarietat von A n+1 aufgefa t werden! 8: Unter der kanonischen Abbildung A(X) ! O(Xf ) wird f auf die nirgends verschwindende Funktion f jXf abgebildet; f jXf ist Einheit in O(Xf ). Die universelle Eigenschaft fur A(X) f1 ] gibt uns den Homomorphismus : A(X) 1f ] ! O(Xf ): Wir zeigen zunachst: a) ist injektiv.

Jeder Ring N 1R; N R multiplikativ, ist dann ein Unterring von K: R N 1R K: b) Ist R beliebig, und p R ein Primideal, so ist N = R p multiplikativ und Rp := N 1 R hei t die Lokalisierung von R in p. Bemerkenswert ist na o m= j a 2 p; b 2 R n p Rp b ist das einzige maximale Ideal in Rp . Beweis: 1) m ist Ideal: a c = ad cb 2 m , wenn a; c 2 p; b; d 2 R n p: b d bd 2) Rp n m = Menge der Einheiten in Rp . x 2 Rp n m ) x = ab fur ein a 2 R n p; b 2 Rp ) y = ab 2 Rp mit xy = 1: Umgekehrt: ab dc = 1 , 9 e 2 R n p : e(ac bd) = 0 ) eac = abd 2 R n p: Da p Ideal, folgt a 2 R n p, also ab 2 Rp n m: 3) Ist nun I Rp Ideal mit I 6= Rp , so ist I \ (R | p{zn m}) = ;, also I m: 2 c) Ist f 2 R, so ist N Einheiten n = ff j n 2 Ng naturlich multiplikativ.

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