Calcolo stocastico per la finanza by Andrea Pascucci

By Andrea Pascucci

Questo testo propone un’introduzione ai metodi matematici, probabilistici e numerici che sono alla base dei modelli in step with l. a. valutazione degli strumenti derivati, come opzioni e futures, trattati nei moderni mercati finanziari. Il libro è rivolto a lettori con formazione scientifica, desiderosi di sviluppare competenze nell’ambito del calcolo stocastico applicato alla finanza. l. a. prima parte è dedicata advert una presentazione dei modelli in line with i mercati in pace discreto in cui le idee sui principi di valutazione sono illustrate in modo semplice e intuitivo. Contemporaneamente sono forniti gli elementi di base della teoria della probabilit� . Successivamente l. a. teoria dell’integrazione e del calcolo stocastico in pace continuo viene sviluppata in maniera rigorosa ma, in line with quanto possibile, snella. Viene posta una particolare enfasi sui legami fra los angeles teoria delle equazioni differenziali stocastiche e degli operatori alle derivate parziali di evoluzione. Il classico modello di Black&Scholes viene analizzato in dettaglio sia con un approccio analitico, sia nell’ambito della teoria delle martingale. los angeles trattazione punta advert essere chiara e rigorosa piuttosto che onnicomprensiva, proponendo una comprensione approfondita del problema della valutazione e copertura di opzioni name e positioned come punto di partenza in line with l’affronto di strumenti derivati esotici. information los angeles loro importanza vengono studiate le opzioni di tipo Americano e alcuni tra i più noti derivati "path-dependent" come le opzioni Asiatiche e con barriera. Un capitolo è dedicato advert illustrare i più noti modelli di volatilit� stocastica che generalizzano l’analisi di Black&Scholes. Infine los angeles teoria precedente è accompagnata dalla descrizione dei principali metodi numerici in line with l. a. valutazione di opzioni: il metodo Monte Carlo, gli alberi binomiali, i metodi alle differenze finite.

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49. Diciamo che due famiglie G, H di eventi di Ω sono indipendenti se: P (A ∩ B) = P (A)P (B), A ∈ G, B ∈ H. a. X, Y su (Ω, F , P ) sono indipendenti se lo sono le corrispondenti σ-algebre σ(X) e σ(Y ). a. sono indipendenti a partire dalla loro distribuzione. Il seguente semplice esercizio risulter`a utile in seguito, pertanto consigliamo di svolgerlo ora. 50. a. indipendenti. a. a. f(X) e g(Y ) sono indipendenti. 51. s. Infatti P (A ∩ B) = P (A)P (B), A ∈ σ(X), B ∈ σ(Y ), e poich´e σ(X) ⊆ σ(Y ), allora si ha P (A) = P (A)2 , A ∈ σ(X).

56. Siano X1 , . . a. reali indipendenti. Allora X1 · · · XN ∈ L1 (Ω, P ), E [X1 · · · XN ] = E [X1 ] · · · E [XN ] , e var(X1 + · · · + XN ) = var(X1 ) + · · · + var(XN ). a. a. (X, Y ) : Ω −→ RN × RM . La distribuzione di (X, Y ) viene solitamente detta distribuzione congiunta di X e Y ; viceversa le distribuzioni di X e Y vengono dette distribuzioni marginali di (X, Y ). Per esempio, proveremo (cfr. a. multi-normale sono normali. Per trattare l’argomento con maggiore generalit`a richiamiamo la definizione e alcune basilari propriet` a della misura prodotto nel caso bidimensionale.

Indicando con ∇ξ = (∂ξ1 , . . 24)) = −t Cξ Γ (t, ξ). In definitiva, per ogni t positivo, Γ (t, ·) `e soluzione del problema di Cauchy ∇ξ Γ (t, ξ) = −t Cξ Γ (t, ξ), Γ (t, 0) = RN Γ (t, x)dx = 1, e di conseguenza, per l’unicit` a della soluzione, si ha la tesi: Γ (t, ξ) = e− 2 t Cξ,ξ . 4). 31). Mostriamo che con una semplice sostituzione ci possiamo ricondurre al caso precedente: fissati α ∈ R e β = (β1 , . . , βN ), poniamo v(t, x) = eαt+β·x u(t, x). Per j, k = 1, . . , N , si ha ∂t v(t, x) = eαt+β·x (αu(t, x) + ∂t u(t, x)), ∂xj v(t, x) = eαt+β·x (βj u(t, x) + ∂xj u(t, x)), ∂xj xk v(t, x) = eαt+β·x (βj βk u(t, x) + βj ∂k u(t, x) + βk ∂j u(t, x) + ∂xj xk u(t, x)), quindi, posto L0 = 1 2 N cjk ∂xj xk − ∂t j,k=1 si ha L0 v(t, x) = eαt+β·x L0 u(t, x) + 1 Cβ, β − α u(t, x) + Cβ, ∇x u(t, x) 2 .

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